Было решено пойти клиенту навстречу в виде предложения пройти второй курс, который был бы оплачен в счет

Тут ключевые моменты — отсутствие подписанного договора и норма закона о защите прав потребителей, которая даёт клиенту возможность требовать возврат за неоказанную услугу, даже если причина неуважительная.

 
1. Что говорит закон
По ст. 32 Закона РФ «О защите прав потребителей» клиент вправе отказаться от исполнения договора об оказании услуг в любое время.
При этом исполнитель (вы) вправе удержать часть суммы, пропорциональную фактически оказанным услугам.
Даже если договор не подписан, факт оплаты и записи на занятия подтверждает, что между вами сложились устные договорные отношения.
 
2. Что это значит в вашем случае
Клиент может потребовать возврат за неоказанные занятия.
Вы можете удержать стоимость 1 реально проведённого урока + возможные расходы, если докажете их (например, материалы, которые готовились только для неё).
Аргумент «пропустила по своей инициативе» в чистом виде в суде не удержит всю сумму у вас, но позволит удержать за реально понесённые расходы.
 
3. Как действовать
Посчитать удержание:

Стоимость одного проведённого урока;
Плюс материальные затраты (если их можно обосновать чеками/накладными).
Предложить возврат остатка официально:

В связи с вашим отказом от дальнейших занятий мы готовы вернуть сумму за неоказанные услуги за вычетом стоимости проведённого занятия и понесённых расходов.
Если клиент откажется и пойдёт в Роспотребнадзор/суд — у вас будет доказательство, что вы действовали по закону, а не просто удержали всё.
 
На будущее:

Без подписанного договора — уязвимость. Стоит иметь хотя бы оферту на сайте/в группе + галочку при оплате или переписку, где клиент соглашается с правилами (в том числе про пропуски).
В договоре прямо прописывать, что при пропуске без уважительной причины деньги не возвращаются.
 
Если хотите, я могу составить для вас короткий юридически корректный ответ клиенту с предложением возврата за вычетом одного урока, чтобы снизить риск претензий в Роспотребнадзор.
Сделать?

Здравствуйте.  По умолчанию в силу ст. 32 ФЗ «О ЗПП» клиент вправе требовать расторжения договора за вычетом фактических расходов. При этом Вы должны доказать фактическое несение расходов. 

Потребитель вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работ (оказании услуг) в любое время при условии оплаты исполнителю фактически понесенных им расходов, связанных с исполнением обязательств по данному договору.

Далее, в части того, что клиент пропустил занятия, то тут в силу ст. 453 ГК РФ

4. Стороны не вправе требовать возвращения того, что было исполнено ими по обязательству до момента изменения или расторжения договора, если иное не установлено законом или соглашением сторон.

То есть в случае пропуска занятий по вине клиента, денежные средства возврату не подлежат. Именно за пропущенные занятия.

Так сложилось что клиенту в начале занятий был выдан договор, который она не подписала, поэтому ссылаться на него нет возможности. Как лучше поступить?

 лучше вернуть денежные средства за вычетом фактических расходов, доказанных, а также за вычетом пропущенных по вине потребителя занятий.

Здравствуйте!

Отвечаю на Ваш вопрос.

При разрешении требований потребителей необходимо учитывать, что бремя доказывания обстоятельств, освобождающих от ответственности за неисполнение либо ненадлежащее исполнение обязательства, в том числе и за причинение вреда, лежит на продавце (изготовителе, исполнителе, уполномоченной организации или уполномоченном индивидуальном предпринимателе, импортере) (пункт 4 статьи 13, пункт 5 статьи 14, пункт 5 статьи 23.1, пункт 6 статьи 28 Закона о защите прав потребителей, статья 1098 ГК РФ).

Если договора не было, а Вы фактически оказали услуги, это будет доказательством для оплаты фактически оказанных услуг со стороны потребителя.

В соответствии со ст.32 закона о защите прав потребителей Потребитель вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работ (оказании услуг) в любое время при условии оплаты исполнителю фактически понесенных им расходов, связанных с исполнением обязательств по данному договору.

То, что Клиент не посетил остальные занятия не является условием удержания денежных средств и может расцениваться как неосновательное обогащение.

Рекомендуем удержать денежные средства, оплаченные за фактически оказанные услуги, остальные вернуть, иначе в суде Клиент  может  потребовать возмещения остальной части оплаты денежных средств и убытков.

С уважением к Вам

Здравствуйте!

Повторюсь, клиент пропустила оплаченные занятия по собственной инициативе, не предоставив справку от врача или другие веские причины для отсутствия. 

Если же неисполнение обязательств возникло не по Вашей вине, то возвращать Вам денежные средства за пропущенные занятия оснований не имеется.

Так, согласно ч. 2 ст. 781 ГК РФ 

В случае невозможности исполнения, возникшей по вине заказчика, услуги подлежат оплате в полном объеме, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.

Иное у Вас может быть предусмотрено договором, а именно, в случае пропуска занятий по уважительной причине, которая подтверждается мед. документами. 

Но, как Вы пишите, справку от врача  заказчик не предоставил, доказательств других веских причин пропуска занятий по уважительной причине также не предоставил заказчик. 

В связи с чем у Вас возникает право на удержание денежных средств за эти занятия.