Или это не касается повышения квалификации?

Здравствуйте! Отличный вопрос — вы всё верно планируете, и законодательство не устанавливает дополнительного ожидания после лишения для сдачи на новую категорию.

 
Можно ли сдавать на категорию Е сразу после возврата прав?
Да, можно!
Срок лишения — это ограничение управления ТС, но не мешает сдаче на повышение категории. Новые нормы с 1 апреля 2024 года уточнили запрет на допуск к экзамену только во время самого лишения и до возврата ВУ, но не устанавливают дополнительного ожидания после возврата (pddmaster.ru).

 
Что важно для допуска к экзамену:
Окончен срок лишения, и вы сдали экзамен на получение удостоверения.
Вы оплатили все штрафы и проходили медкомиссию, если это требуется (mskcity.club).
Идёте в автошколу, проходите курс и получается разрешение на открытие категории Е (если по новой иерархии вам требуется стаж по В не менее 1 года) (pddmaster.ru).
 
Почему вас не могут не допустить ещё на год?
После лишения и возврата прав вы полностью восстановлены в правах как водитель.
Требование «еще год не сдавать» — не соответствует законодательству РФ.
Исключение: вы сейчас ещё не получили новое водительское удостоверение — экзамен сдавать можно, но ВУ не выдадут до его получения (pddmaster.ru, Т—Ж).
 
Что можно сделать:
Проверьте, что все документы и штрафы в порядке.
Обратитесь в автошколу — начните обучение для категории Е.
Подайте документы в ГИБДД во время подачи на получение ВУ и категорию Е одновременно.
Сдавайте экзамены — и не нужно ни ждать год, ни заниматься чем-то ещё.
 
Вывод: вас не имеют права не допустить к экзамену на категорию Е после полного истечения срока лишения и получения ВУ. Если у вас ещё нет нового удостоверения — сдайте и получите его, а затем сразу проходите обучение на категорию Е.