Можно ли оспорить отказ в заселении без паспорта и вернуть оплату через Островок?

Добрый день! Вам необходимо получить электронную выписку из банка, свидетельствующую об оплате денежных средств, чтобы доказать факт оплаты. 

Далее продолжу в следующих ответах.

Иван, добрый день.

1. Правомерен ли отказ в заселении?

 Да. 

В случае не предоставления документа, удостоверяющего личность гостиница вправе отказать в заселении.

В постановлении Правительства РФ от 18.11.2020 N 1853 «Об утверждении Правил предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации»

18. Заселение потребителя осуществляетсяпри условии предъявления потребителем документа, удостоверяющего его личность в соответствии с законодательством Российской Федерации, в том числе:
паспорта гражданина Российской Федерации, удостоверяющего личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации;

Неисполнение данного условия может явиться  основанием отказа в заселении.

2. Можно ли вернуть средства, оплаченные в островок? К чему аппелировать если они откажуться? Электронное письмо с описанием случившегося им отправлено в тот же вечер.

 Здесь может возникнуть спор относительно оснований возврата.

Формально инициатором отказа в предоставлении услуги является гостиница, что предполагает применение ст. 782 ГК РФ 

2. Исполнитель вправе отказаться от исполнения обязательств по договору возмездного оказания услуг лишь при условии полного возмещения заказчику убытков.

В связи с чем именно гостиница, а не островок обязаны произвести возврат оплаченной суммы.

Островок перед Вами ответственность не несет и он не обязан осуществить возврат средств, ввиду того, что свои услуги по бронированию гостиницы он исполнил.

Поэтому тут требовать возврат оплаты и комиссию островка Вам надлежит непосредственно с гостиницы, отказавшей в оказании услуги.

Она со своей стороны может указать на то что услуга не была оказана ввиду отсутствия паспорта и настаивать на применение п. 2 ст. 781 ГК РФ 

2. В случае невозможности исполнения, возникшей по вине заказчика, услуги подлежат оплате в полном объеме, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.

Поэтому в случае отказа добровольно возместить средства Вам придется обращаться в суд.