Могут ли меня выгнать на улицу или я смогу вступить в наследство?

Здравствуйте Сергей вы можете вступит в наследство, которое оформлено в Росреестре 

не приватизированная квартира в наследство после смерти вашего отца не входит, если вы проживаете в ней, тогда вам необходимо заключить договор социального найма на эту квартиру, если с вами заключат договор социального найма, то после этого вам можно самому ее приватизировать

Сергей, примите мои соболезнования.

Давайте разберём Вашу ситуацию  по шагам:

1.Статус квартиры.

Если квартира была муниципальной (государственной) и ваш отец пользовался ей по договору социального найма, то приватизации не произошло → квартира не входила в его собственность, а значит, в наследство она не входит.
Если квартира была в собственности, но документы не оформлены или приватизация была начата и не завершена — тогда важно уточнить, на какой стадии это остановилось.

2.Ваши права как проживающего.

Даже если квартира муниципальная, закон (ст. 69 ЖК РФ) закрепляет право членов семьи нанимателя на пользование жильём. Если вы действительно проживали постоянно в этой квартире (есть регистрация/свидетельские показания/квитанции, справки, документы из поликлиники, школы, трудовой и т. д.), то у вас есть возможность сохранить право проживания и оформить договор социального найма уже на себя.
Вас не могут просто «выселить на улицу», если удастся доказать, что вы член семьи нанимателя и фактически проживали.

3.Как действовать.

1)Обратиться в администрацию (или в организацию, отвечающую за жилфонд) с заявлением о заключении договора соцнайма на вас как на фактического проживающего и наследующего право пользования.
2)Собрать документы, подтверждающие ваше фактическое проживание (справки, показания соседей, квитанции об оплате ЖКУ).
3)При необходимости — обращаться в суд для признания за вами права пользования квартирой.
Если всё же квартира была приватизирована или могла быть приватизирована нужно уточнить: был ли оформлен договор приватизации, зарегистрирован ли он в Росреестре. Если документы не были доведены до конца, квартира остаётся муниципальной.
В случае приватизированной квартиры — вы наследуете её как единственный наследник.
Итог:

Если квартира муниципальная — наследовать вы не сможете, но сможете оформить соцнайм на себя и остаться жить.
Если квартира была в собственности отца — вы наследуете её как единственный наследник.

Рада, если смогла быть полезной! Буду признательна за Ваш отзыв.Если потребуется поддержка или помощь с документами — обращайтесь, я всегда на связи. С уважением, Ольга.