У меня в договоре прописано что проживание животными запрещено, но арендатор отказывается выплачивать деньги ввиде штрафа

Здравствуйте!

Коротко по сути: Штраф за питомца возможен, если в договоре прямо есть условие о запрете животных и договорная неустойка (штраф/пеня) за нарушение. Но в суде такую неустойку могут снизить как несоразмерную (ст. 330, 333 ГК РФ).  
Акт приёма-передачи не обязателен, чтобы суд рассмотрел спор. Он просто важное доказательство состояния и дат, но его отсутствие не блокирует рассмотрение — можно доказывать перепиской, платежами, фото, показаниями и т. п. Верховный суд отдельно указывал, что отсутствие акта не является «автоматическим» препятствием/доказательством обратного.  
Залог (обеспечительный платёж) можно удержать/зачесть только если это прямо предусмотрено договором (ст. 381.1 ГК РФ). Если в договоре нет права на зачёт из залога — по общему правилу залог возвращают, а штраф/ущерб взыскивают отдельно.  
Расторгнуть договор из-за животного можно только через суд и обычно при существенности нарушения (например, порча имущества, жалобы соседей, грубые/повторные нарушения порядка пользования), см. ст. 687 ГК РФ. Сам по себе факт «есть кошка» без последствий — слабое основание для расторжения.  

Что делать сейчас (пошагово)

Разобрать договор:
— проверьте, как сформулирован запрет животных и размер/вид «штрафа» (это должна быть именно неустойка, а не административный «штраф»);
— есть ли пункт о зачёте из обеспечительного платежа и в каких случаях.  
Зафиксировать нарушение (если аренда ещё идёт): фото/видео, переписка, свидетельские показания соседей о запахе/шуме (если есть), акты осмотра. Отдельно — состояние имущества (на случай ущерба).
Отправить досудебную претензию арендатору (заказным письмом + e-mail/мессенджер):
— сослаться на пункт договора (запрет животных), на ст. 330 ГК РФ;
— требовать: а) устранить нарушение (убрать животное) до даты Х или б) согласовать допсоглашение о содержании животного (повышенный залог/ежемесячная надбавка);
— взыскать договорную неустойку (если предусмотрена) и предложить зачёт из залога (если договор это допускает);
— предупредить, что при неисполнении обратитесь в суд и заявите требования о неустойке/убытках/судрасходах (учтите: по ст. 333 ГК РФ суд может уменьшить неустойку).  
Ответить на «предупредительную судебную записку». Часто это обычная досудебная претензия или «уведомление о намерении обратиться в суд». Ответьте письменно по существу (см. шаблон №1).
Если вдруг пришёл судебный приказ от мирового судьи (редко, но бывает по деньгам) — его нужно отменить возражениями в 10-дневный срок с момента получения.

Готовые короткие шаблоны

1) Ответ на претензию арендатора (про «залог/штраф»)

От: ФИО, адрес, контакты
Кому: ФИО арендатора, адрес, e-mail

ОТВЕТ НА ПРЕТЕНЗИЮ

По договору найма от __.__.____ №___, п. __, проживание с животными запрещено.
___.__.____ мной выявлено наличие кошки в квартире (доказательства: фото/видео,
переписка от __.__.____). Это является нарушением условий договора.

Пунктом __ договора предусмотрена договорная неустойка (штраф) за нарушение
указанного условия в размере ______ руб. На основании ст. 330 ГК РФ требую
уплаты неустойки до __.__.____.

Кроме того, в соответствии с п. __ договора внесённый обеспечительный платёж
(залог) может быть зачтён в счёт задолженности/неустойки. Прошу подтвердить
согласие на зачёт до __.__.____. При отсутствии согласия оставляю за собой
право взыскать сумму в судебном порядке. Обращаю внимание, что при
сохранении животного в квартире нарушение будет считаться длящимся.

Приложения: копия договора; материалы фиксации; реквизиты.
Дата, подпись

2) Досудебная претензия о нарушении условий (если инициируете вы)

ПРЕТЕНЗИЯ О НАРУШЕНИИ УСЛОВИЙ ДОГОВОРА

Установлено проживание с животным (кошкой) вопреки п. __ договора от __.__.____ №__.
На основании ст. 330 ГК РФ требую: 
1) устранить нарушение (удалить животное) в срок до __.__.____; 
2) уплатить договорную неустойку ______ руб. (расчёт прилагается).

Альтернатива: согласовать до __.__.____ допсоглашение о разрешении содержания
животного при условии увеличения обеспечительного платежа на ______ руб.
и ежемесячной надбавки _____ руб. на уборку/износ.

При неисполнении — обращусь в суд за взысканием неустойки/убытков и
судебных расходов. Предупреждаю, что по ст. 333 ГК РФ размер неустойки может
быть изменён судом, поэтому предлагаю урегулировать спор добровольно.

Приложения: копия договора; доказательства; реквизиты.  
Дата, подпись

конечно, чтобы правильно проконсультировать по вашему договору, нужно смотреть сам договор, обращайтесь в личку, посмотрю, проконсультирую ( консультация 800 р)