Как нам правильно поступать в этой ситуации?

1) Может ли несовершеннолетний наследник отказаться от наследства в пользу тёти?
Да, но только с разрешения органа опеки и попечительства и в пределах 6-месячного срока на принятие наследства. Это прямо следует из п. 4 ст. 1157 ГК РФ: отказ несовершеннолетнего допускается только при предварительном разрешении опеки. Срок — общий шестимесячный (ст. 1154 ГК РФ). Отказ может быть как «безадресный», так и «в пользу» другого наследника из круга наследников по закону/завещанию (ст. 1158 ГК РФ). Родная сестра умершего — наследник по закону второй очереди (ст. 1143 ГК РФ), поэтому в её пользу теоретически отказаться можно. 

Важно: если 6 месяцев уже прошли, отказаться (даже с опекой) нельзя — тогда работают другие инструменты (см. п. 3–4 ниже). Отказ, однажды сделанный, неотменяем (п. 3 ст. 1157 ГК РФ). 

2) Обязательно ли ехать в другой регион, чтобы подать отказ/заявление по наследству?
Нет. По закону заявление о принятии наследства или об отказе подают «по месту открытия наследства» (по последнему месту жительства умершего — ст. 1115 ГК РФ), но подпись на заявлении можно удостоверить у любого близкого к вам нотариуса и переслать почтой либо подать через любого нотариуса, который направит документ нотариусу, ведущему наследственное дело, через ЕИС нотариата. Это прямо предусмотрено ст. 1153 и ст. 1159 ГК РФ и порядком межнотариального взаимодействия в ЕИС. 

Если ваш нотариус говорит, что «нужно ехать на место», спокойно попросите сослаться на норму закона. Сошлитесь на ст. 1153 (п. 1–2) и ст. 1159 (п. 2) ГК РФ и на порядок ЕИС (нотариус обязан переадресовать документ «по принадлежности»). 
3) Если 6-месячный срок уже истёк: как передать дом тёте, когда дочери исполнится 18?
Вариантов три — выбирайте по удобству и налогам.

А. Дарение тёте (после 18 лет).
Просто и быстро, но у тёти возникнет НДФЛ: тётя и племянница не считаются «близкими родственниками» для льготы по п. 18.1 ст. 217 НК РФ, поэтому у одаряемой появляется облагаемый доход (ставка зависит от общей суммы доходов за год). 

Б. Продажа тёте.
Чаще всего выгоднее. Продавец (дочь) платит НДФЛ только если не истёк минимальный срок владения. Для наследства он обычно 3 года, но он не сокращается, если наследство не от близкого родственника — тут важно когда был принят объект и сколько прошло времени. Даже если 3 года ещё нет, у продавца есть имущественный вычет 1 млн руб. (ст. 220 НК РФ), а налоговая база при продаже жилья не может быть ниже 70% кадастровой стоимости на 1 января года продажи — это «правило 0,7». Для «домишки» в глуши часто база после 0,7 укладывается в вычет — налог = 0. Проверьте кадастровую стоимость в ЕГРН. 

В. Отказ от права собственности (ст. 236 ГК РФ).
Технически можно «бросить» имущество, но до тех пор, пока кто-то не приобретёт право, все обязанности собственника остаются (налоги, риски). Это путь с нюансами, и его обычно не рекомендуют, если есть реальный получатель (ваша тётя). 

Как оформить дарение/продажу без поездок: можно удостоверить сделку дистанционно у двух нотариусов (каждая сторона — у «своего») через систему удалённого удостоверения; нотариусы сами отправят документы в Росреестр. 

4) Что делать прямо сейчас, с учётом возраста дочери?
Сценарии зависят от срока и возраста:

Сценарий 1. 6 месяцев ещё не прошло.

Получите разрешение опеки на отказ несовершеннолетней в пользу тёти (обоснуйте, что это не ухудшает имущественное положение дочери: дом в другом регионе, расходы > пользы).
У любого нотариуса по месту вашего проживания составьте заявление об отказе в пользу тёти; нотариус перешлёт его в наследственное дело.
Тётя подаёт заявление о принятии наследства у «своего» нотариуса с пересылкой в наследственное дело. 
Сценарий 2. 6 месяцев прошли, дочь ещё несовершеннолетняя.
— Дождитесь 18 лет или получите разрешение опеки на отчуждение (это сложнее, т.к. дарение уменьшает имущество несовершеннолетнего). После — договор дарения (налог у тёти) или купли-продажи (возможно без налога у дочери за счёт вычета), лучше одним документом сразу на дом и земельный участок. Удостоверить можно дистанционно у нотариусов. 

Сценарий 3. 6 месяцев прошли, дочери уже 18.
— Сразу выбирайте дарение (налог у тёти) или продажу (проверьте «правило 0,7» и вычет), оформляйте у нотариуса дистанционно. 

5) Что с отказом старшего сына?
Если он отказался без указания в чью пользу, его доля «разлилась» между наследниками той же очереди (то есть увеличила долю вашей дочери). Изменить это уже нельзя — отказ безвозвратен (п. 3 ст. 1157 ГК РФ). Поэтому долю дочери просто передаём тёте одним из способов из п. 3. 

6) Практический чек-лист 
Уточните у нотариуса в том регионе, где открыто дело: какие заявления от вас в деле уже есть, кто наследники, что включено в состав наследства (дом, земельный участок), есть ли долги/коммуналка.
Проверьте срок 6 месяцев с даты смерти (если ещё идёт — действуйте по Сценарию 1; если прошёл — по Сценарию 2/3). 
Если выберете отказ несовершеннолетней — сначала разрешение опеки, затем заявление у любого нотариуса с пересылкой в наследственное дело. 
Если выберете сделку после 18:
– получите свидетельство о праве на наследство на дочь и зарегистрируйте право в ЕГРН (нотариус может сам направить в Росреестр);
– оформите договор дарения/купли-продажи (удалённо у нотариусов), включив дом и землю;
– при дарении предупредите тётю про НДФЛ; при продаже посчитайте налог с учётом вычета 1 млн и правила 0,7. 
Не ездите за 1000 км без нужды: пользуйтесь пересылкой заявлений (ст. 1153, 1159 ГК) и дистанционным нотариатом/доверенностью представителю на месте. В доверенности обязательно предусмотрите полномочия «на принятие/отказ/оформление и регистрацию прав». 
Проверьте долги по дому/земле и помните: по долгам наследодателя наследники отвечают только в пределах стоимости наследства (ст. 1175 ГК РФ).