Можно ли требовать с квартирантов оплату и дальше по договору, если он ещё не расторгнут?

Да, вы можете требовать с бывших квартирантов оплату за период, пока они не вернули ключи и не произвели окончательный расчет, даже если они уже выехали из жилья. Ключевым аргументом здесь является то, что они не выполнили всех действий для окончательного прекращения своих обязательств по договору.

Ваша ситуация регулируется Гражданским кодексом РФ. Вот как можно обосновать ваши требования:

Договор продолжает действовать до полного расчета и возврата ключей. Хотя квартиранты освободили жилье, они не вернули ключи, что может расцениваться как сохранение за собой возможности доступа к помещению. Кроме того, обязательство по оплате не прекратилось, так как расчет не произведен.
Для взыскания задолженности по договору найма применяется общий срок исковой давности, который составляет 3 года. Он начинает течь не с момента выезда квартирантов, а с даты, когда они должны были внести плату согласно договору, но не сделали этого. Таким образом, у вас есть достаточное время для подготовки и подачи иска.
Требования за последующие месяцы. Взыскать оплату «дальше по договору» (например, за бесконечно последующие месяцы) будет сложно, так как суд, скорее всего, ограничит период взыскания разумным сроком, необходимым для сдачи жилья новым арендаторам. Однако вы можете потребовать компенсацию за период, в течение которого квартира не могла быть сдана другому лицу из-за неисполнения бывшими квартирантами обязательств (например, из-за невозврата ключей).

Чтобы защитить свои права, рекомендую действовать последовательно:

Направьте досудебную претензию. Составьте письменное требование и отправьте его квартирантам заказным письмом с уведомлением о вручении. В претензии укажите:

Сумму задолженности за 3 месяца проживания.
Период, за который вы требуете компенсацию после их выезда (например, до даты возврата ключей или до момента, когда вы смогли приступить к поиску новых жильцов).
Четкий срок (например, 10-14 дней) для добровольного погашения долга.
Предупреждение об обращении в суд в случае неисполнения требования.
Совсем негативные последствия:
Подготовьте исковое заявление в суд. Если претензия не возымеет действия, обращайтесь в мировой или районный суд (в зависимости от суммы иска) с иском о взыскании задолженности и неустойки за просрочку платежей. К иску приложите:

Копию договора найма.
Копию направленной претензии и почтовую квитанцию.
Доказательства освобождения жилья (например, акт приема-передачи квартиры или показания свидетелей).
Расчет задолженности и неустойки.
Учитывайте возможность «перерыва» срока давности. Любое действие квартирантов, свидетельствующее о признании долга (например, ответ на вашу претензию, частичная оплата, просьба об отсрочке), прерывает течение срока исковой давности. После перерыва срок начинается заново-3-5. Это важно, если с момента образования долга прошло уже много времени.