Мой приятель вчера написал заявление на увольнение, но директор не подписывает ему трудовую книжку что делать ему

Здравствуйте! 

В соответствии со ст.80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор предупредив об этом работодателя не менее чем за две недели. Течение срока срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника. По соглашению между работником и работодателем договор может быть расторгнут до истечения срока.

Таким образом надо достигнуть с работодателем соглашения подписанного сторонами о расторжении трудового договора, либо ожидать две недели до увольнения.