Добрый день, я работаю врачом и мне поставили смену 31 декабря, а у меня два маленьких ребёнка 4 года и 6 лет, при этом начальник меня не спросил

Да, работодатель в общем случае имеет право поставить вас на смену 31 декабря, но с важными оговорками и гарантиями для вас как работника с маленькими детьми. Разберём по пунктам.

Когда привлечение к работе законно
Если сменный график утверждён заранее

Если ваша смена 31 декабря предусмотрена утверждённым графиком сменности (который доведён до вас под подпись не позднее чем за 1 месяц до введения), работодатель вправе требовать выхода на работу.
График сменности — обязательный документ при сменной работе (ст. 103 ТК РФ).
Если получено ваше письменное согласие

Даже если смена не была запланирована заранее, вас могут привлечь к работе 31 декабря только с вашего письменного согласия (ч. 2 ст. 113 ТК РФ).
Устное распоряжение или приказ без согласия — незаконны.
Исключительные случаи без согласия

Работа в выходной/праздничный день возможна без согласия только при:

предотвращении катастрофы, аварии;
устранении последствий стихийного бедствия;
иных чрезвычайных обстоятельствах, угрожающих жизни или здоровью людей.
Для медиков такие ситуации возможны, но должны быть документально подтверждены.
Ваши права и гарантии
Повышенная оплата труда

Работа 31 декабря (если это выходной по графику) оплачивается не менее чем в двойном размере (ст. 153 ТК РФ):

если вы на окладе — минимум двойная дневная/часовая ставка сверх оклада;
при сдельной оплате — по двойным расценкам.
По вашему желанию вместо доплаты можно взять другой день отдыха (отгул), тогда работа оплачивается в одинарном размере.
Право отказаться без последствий

Вы можете не давать согласие на работу в выходной/праздничный день — это не будет нарушением трудовой дисциплины.
Работодатель не вправе:

угрожать дисциплинарным взысканием;
лишать премий;
увольнять за отказ выйти на работу без вашего согласия.
Особые гарантии для родителей малолетних детей

ТК РФ не запрещает привлекать к работе в выходные родителей детей до 14 лет, но:

вы должны быть письменно ознакомлены с правом отказаться от работы в выходной (ч. 7 ст. 113 ТК РФ);
работа допускается только при отсутствии медицинских противопоказаний (если у вас есть ограничения по здоровью — укажите это).
Что делать, если смена назначена без вашего согласия
Потребуйте письменного приказа

Попросите работодателя оформить приказ о привлечении к работе в выходной день с указанием основания и порядка оплаты.
Без приказа выход на работу незаконен.
Напишите отказ (если не хотите работать)

В свободной форме укажите:

что не давали письменного согласия на работу 31 декабря;
что в силу семейных обстоятельств (наличие детей 4 и 6 лет) не можете выйти на смену;
ссылку на ст. 113 ТК РФ.
Подавайте документ в двух экземплярах: один — работодателю, второй — с отметкой о приёме — оставьте себе.
Обратитесь в трудовую инспекцию

Если работодатель настаивает или угрожает, подайте жалобу:

через сайт «Онлайнинспекция.рф»;
лично в территориальную ГИТ;
по телефону горячей линии Роструда (8 800 707‑88‑41).
Срок подачи жалобы — 3 месяца с момента нарушения (ст. 392 ТК РФ).
Зафиксируйте доказательства

Сохраняйте:

график сменности;
приказы;
переписку с работодателем;
аудио/видео (если есть).
Итог
Работодатель вправе поставить вас на смену 31 декабря, только если:

это предусмотрено графиком сменности;
вы дали письменное согласие;
есть чрезвычайные обстоятельства (без согласия).
Вы вправе отказаться от работы в выходной без объяснения причин — это не дисциплинарный проступок.
Работа в выходной оплачивается в двойном размере либо компенсируется отгулом.
При нарушении ваших прав — жалуйтесь в трудовую инспекцию

Нет, начальник не имеет права назначать смену 31 декабря без согласия сотрудника, так как Трудовой кодекс РФ запрещает привлекать работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни без их согласия (ч. 1 ст. 113 ТК РФ). 

С 2022 года, согласно статьям 96 и 99 Трудового кодекса РФ, работодателей запрещено привлекать работников с маленькими детьми к работе в ночное время, к сверхурочным работам и к работе в праздничные и выходные дни без письменного согласия сотрудника. 

Если начальник нарушает эти правила, можно обратиться в трудовую инспекцию или в суд.

С благодарностью, Александр.