Имеют ли на это права и если нет, на какой закон ссылаться, если мне удобнее сейчас подать в этом же городе, но в другом районе

Короткий ответ
Формально сотрудники не совсем правы, но и вы не можете требовать услугу в любом отделе «как в МФЦ». Законодательство позволяет вам обратиться в любое подразделение по вопросам миграции (ОВМ/УВМ МВД) в пределах одного субъекта РФ (области, края, республики), но часто требует, чтобы это было подразделение, обслуживающее ваш адрес проживания (регистрации).

Главный нюанс в том, что проставление штампа о гражданстве — это не просто штамп, а административная процедура, связанная с проверкой по базам данных и внесением отметки в систему.

 
Что говорит закон?
Основной документ, регламентирующий эту процедуру — это Административный регламент МВД РФ (действует с 2020 года, например, Приказ МВД России № 773, а также более старые, но действующие нормы о порядке проставления отметки о гражданстве).

Согласно общим правилам оказания госуслуг в сфере миграции:

Территориальность. Заявитель подает документы в подразделение по вопросам миграции по месту жительства (регистрации) или по месту пребывания (временной регистрации).
Экстерриториальность. С недавнего времени многие услуги (например, замена паспорта, регистрационный учет) можно получать в любом удобном отделе МВД в пределах РФ, не привязанном к прописке.
Но! Услуга по проставлению штампа о гражданстве детям часто рассматривается как услуга, требующая доступа к «учетному делу» ребенка, которое «ведется» в отделе по месту постоянной регистрации.

Почему они могли отказать?
Сотрудник мог отказать по двум причинам:

«Паспортно-визовая служба» (наследие СССР). Раньше всё было жестко привязано к прописке. Многие старые сотрудники до сих пор считают, что штамп можно поставить только там, где ребенок состоит на регистрационном учете, так как у них нет доступа к «бумажному» архиву вашего района.
Отсутствие доступа к базам. В базе данных «Территория» или «Мир» доступ к редактированию записи может быть ограничен для сотрудников других районов. Они могут видеть данные, но не имеют права вносить изменения (ставить отметку), так как это закреплено за конкретным подразделением по месту регистрации.
Какой закон можно попробовать привести в качестве аргумента?
Ссылаться нужно не на один закон, а на принцип экстерриториальности и единую систему МВД.

Вот что можно сказать или показать (на экране телефона):

Федеральный закон № 62-ФЗ «О гражданстве РФ» и Положение о порядке рассмотрения вопросов гражданства (Указ Президента РФ № 1325). В этих документах прямо не указано, что вы обязаны ехать именно в «свой» район. Там говорится о подаче документов в территориальный орган МВД.
Административный регламент. Можно попробовать сослаться на общий принцип предоставления госуслуг: «Согласно Федеральному закону № 210-ФЗ «Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг», я имею право на получение услуги вне зависимости от места регистрации в пределах территории обслуживания одного территориального органа МВД (в данном случае — города).»
Главный аргумент. Скажите так: «Я обращаюсь в территориальный орган МВД России по городу [Название города]. Ваше подразделение является структурной частью УМВД по данному городу. Я нахожусь на территории города и прошу оказать мне государственную услугу. Отказ мотивируйте письменно, с указанием пункта нормативного акта, запрещающего принимать документы у граждан, зарегистрированных в другом районе этого же города, но в пределах одного субъекта федерации».
Что делать, если они уперлись?
Требовать письменный отказ.
Обычно это работает безотказно. Сотрудники знают, что писать отказ на бумаге с обоснованием «приезжайте в свой район» они не имеют права, так как это нарушение закона о порядке рассмотрения обращений граждан.

Если они отказываются принимать документы и писать отказ:

Позвоните на горячую линию МВД по номеру 8-800-222-74-47 (или 02/102) и уточните порядок приема в вашем городе.
Попробуйте обратиться в Многофункциональный центр (МФЦ). МФЦ часто принимают документы на такие услуги и передают их в миграционную службу курьером. Для МФЦ не важно, в каком вы районе, они работают по экстерриториальному принципу в пределах города/области. Уточните в конкретном МФЦ, оказывают ли они эту услугу.
Если МФЦ не берет, а в паспортном столе отказывают, попробуйте зайти в другое районное отделение (не то, где отказали) — возможно, там сидят более грамотные или лояльные сотрудники.

Приложение к приказу МВД России от 16.11.2020 N 773 «АДМИНИСТРАТИВНЫЙ РЕГЛАМЕНТ МИНИСТЕРСТВА ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ПРЕДОСТАВЛЕНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УСЛУГИ ПО ВЫДАЧЕ, ЗАМЕНЕ ПАСПОРТОВ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ, УДОСТОВЕРЯЮЩИХ ЛИЧНОСТЬ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НА ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» относит Вас к общим нормам о праве заявителя на досудебное (внесудебное) обжалование действий (бездействия) и решений, принятых (осуществляемых) в ходе предоставления государственной услуги.
Федеральный закон от 27.07.2010 N 210-ФЗ (ред. от 29.12.2025) «Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг»

Внимательно изучите Главу 2.1. ДОСУДЕБНОЕ (ВНЕСУДЕБНОЕ) ОБЖАЛОВАНИЕ
ЗАЯВИТЕЛЕМ РЕШЕНИЙ И ДЕЙСТВИЙ (БЕЗДЕЙСТВИЯ) ОРГАНА,
ПРЕДОСТАВЛЯЮЩЕГО ГОСУДАРСТВЕННУЮ УСЛУГУ, ОРГАНА,
ПРЕДОСТАВЛЯЮЩЕГО МУНИЦИПАЛЬНУЮ УСЛУГУ, ДОЛЖНОСТНОГО
ЛИЦА ОРГАНА, ПРЕДОСТАВЛЯЮЩЕГО ГОСУДАРСТВЕННУЮ УСЛУГУ,
ИЛИ ОРГАНА, ПРЕДОСТАВЛЯЮЩЕГО МУНИЦИПАЛЬНУЮ УСЛУГУ,
ЛИБО ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЛИ МУНИЦИПАЛЬНОГО СЛУЖАЩЕГО,
МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНОГО ЦЕНТРА, РАБОТНИКА
МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНОГО ЦЕНТРА, А ТАКЖЕ ОРГАНИЗАЦИЙ,
ОСУЩЕСТВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИИ ПО ПРЕДОСТАВЛЕНИЮ ГОСУДАРСТВЕННЫХ
ИЛИ МУНИЦИПАЛЬНЫХ УСЛУГ, ИЛИ ИХ РАБОТНИКОВ
(в ред. Федерального закона от 29.12.2017 N 479-ФЗ)
Если мой ответ оказался полезным, буду признателен за положительную оценку в виде плюса.