Договор аренды есть имеется, нужно ли его проводить арендателю через налоговую?

Да, вы имеете на это право. С 2020 года в статью 86 Семейного кодекса РФ внесены поправки о так называемых «жилищных алиментах». Это дополнительные расходы, которые взыскиваются сверх обычных алиментов.
Вот ответы на ваши вопросы и пошаговый план:
 
1. Можно ли взыскать, если есть жилье в другом регионе?
Можно. Тот факт, что у вас есть жилье по месту прописки мужа, не лишает вас права на иск. Вам нужно будет обосновать суду, почему вы живете в другом регионе (например: здесь лучше работа, здесь ребенок ходит в специализированный сад/школу, здесь живут помогающие родственники или медицинские показания).
Главное условие — у вас и ребенка нет собственности или доли в жилье именно в том регионе, где вы фактически живете и снимаете.
 
2. Нужно ли арендодателю платить налоги?
Для суда не имеет значения, платит ли ваш арендодатель налоги.
Суду нужен оригинал договора найма и доказательства оплаты (выписки из банка о переводе денег или расписки).
Налоговая проверка арендодателя — это не компетенция гражданского суда по алиментам.
Риск: Единственный нюанс — арендодатель может испугаться «светящегося» в суде договора. Но юридически его нежелание платить налоги не делает ваш договор недействительным для взыскания алиментов.
 
3. Порядок действий
Поскольку это дополнительные расходы, вам нужно подать исковое заявление в районный суд (мировой такие дела не рассматривает).
Соберите документы: Свидетельство о рождении ребенка.
Решение суда или приказ о взыскании обычных алиментов.
Договор аренды квартиры.
Чеки/выписки об оплате аренды за последние несколько месяцев.
Справка из Росреестра (выписка ЕГРН) на вас и ребенка об отсутствии недвижимости в данном регионе (это ключевое доказательство нуждаемости).
Рассчитайте сумму: Обычно суд взыскивает фиксированную сумму. Чаще всего это 1/2 или 1/3 от стоимости аренды (пропорционально доле ребенка в расходах).
Подайте иск: Можно по своему месту жительства или по месту жительства мужа.
 
На что рассчитывать?
Суд не обяжет мужа оплачивать всю квартиру. Он разделит платеж: например, если аренда 30 000 руб., то доля ребенка — 10 000 руб. Эту сумму суд может поделить пополам между родителями, обязав отца доплачивать вам по 5 000 руб. ежемесячно.