В связи с этим хотела бы уточнить: каким образом нам поступить дальше?

В вашей ситуации, когда управляющая компания (УК) не выполняет обязанности по уборке подъездов, а предписание Госжилинспекции (ГЖИ) не привело к устранению нарушений, можно предпринять следующие шаги:

Дальнейшие действия
Повторное обращение в ГЖИ. Несмотря на то что ГЖИ уже выдавала предписание, вы можете снова обратиться в инспекцию с жалобой на неисполнение требований. В обращении укажите, что предписание не было выполнено, приложите копии предыдущих обращений и ответов УК. ГЖИ обязана провести контрольную проверку и при выявлении нарушений принять меры, например, привлечь УК к административной ответственности. 
Обращение в прокуратуру. Если ГЖИ не принимает достаточных мер, можно подать жалобу в районную прокуратуру. Прокуратура осуществляет надзор за исполнением законов и может провести проверку деятельности УК, а также действий (бездействия) ГЖИ. В жалобе подробно опишите ситуацию, укажите даты обращений, приложите копии документов (предыдущие обращения, ответы УК, предписание ГЖИ, фото/видео состояния подъездов). Прокуратура обязана рассмотреть жалобу в течение 30 дней и принять меры при выявлении нарушений. 

Здравствуйте. УК обязана содержать общее имущество, включая уборку подъездов — это её прямая обязанность по жилищному законодательству, и отказ от неё незаконен. Следующий шаг — повторное обращение в ГЖИ с указанием, что предписание не исполнено, плюс жалоба в прокуратуру на бездействие УК. Напишите в личку — подскажу, как составить обращения грамотно, чтобы добиться результата.