Как мне получить оплату ничего не подписывая?

Отсутствие подписанного трудового договора не лишает вас права на оплату за отработанное время. Согласно статье 16 Трудового кодекса РФ, трудовые отношения возникают не только на основании подписанного договора, но и в связи с фактическим допущением человека к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного представителя. Это означает, что если вы приступили к работе и выполняли трудовые обязанности, работодатель обязан оплатить отработанное время, даже если письменный трудовой договор не был оформлен. 

Ваши права и действия
Требуйте оплаты на основании факта работы. Вы можете направить работодателю письменное требование о выплате заработной платы за отработанные дни. В письме укажите период работы, выполняемые обязанности и требуемую сумму. Сохраните копию требования и доказательства его отправки (например, опись вложения, если отправляли почтой).
Собирайте доказательства трудовых отношений. К ним могут относиться:

любые документы с подписью и печатью компании (приказы, доверенности, служебные записки, пропуск на рабочее место);
электронная переписка с работодателем (email, мессенджеры), где обсуждаются работа, задания, оплата;
аудио- и видеозаписи (например, запись разговора с работодателем, где он подтверждает факт работы или долга по зарплате);
свидетельские показания коллег, клиентов или других лиц, которые могут подтвердить факт вашей работы;
фотографии с рабочего места, видеозаписи с камер наблюдения (если есть доступ к ним). 
Обратитесь в контролирующие органы. Если работодатель отказывается платить, можно подать жалобу в Государственную инспекцию труда (ГИТ) или прокуратуру. ГИТ проведёт проверку и может вынести предписание о выплате задолженности, а также привлечь работодателя к административной ответственности за нарушение трудового законодательства. 
Обратитесь в суд. Если другие меры не помогли, подайте исковое заявление в районный суд по месту нахождения работодателя. В иске требуйте взыскания заработной платы за отработанное время. Суд может определить размер зарплаты на основании письменных доказательств или исходя из обычного вознаграждения работника такой квалификации в данной местности, если доказательств нет. Срок исковой давности для таких случаев составляет 1 год с момента невыплаты зарплаты. 

Согласно Трудовому кодексу РФ (ст. 67 ТК РФ), трудовой договор считается заключенным, если вы приступили к работе с ведома или по поручению работодателя.
Тот факт, что бумажный договор не подписан, не означает, что вы работали нелегально или бесплатно.
Работодатель обязан оплатить вам все фактически отработанное время, даже если договор так и не был оформлен на бумаге.
Требование «сначала подпиши договор задним числом, потом увольняйся» — это попытка работодателя обезопасить себя от штрафов за неоформленного сотрудника и правильно провести документы в бухгалтерии.

Почему они требуют подписать договор?

Им это нужно не только «чтобы закрыть бумаги», но и чтобы:
1.  Легализовать вашу работу за эти дни (иначе им грозит штраф от трудовой инспекции).
2.  Издать приказ об увольнении на основании этого договора.
3.  Произвести расчет и выплату официально, перечислив деньги на карту или выдав из кассы под роспись.

Без оформления документов они не могут законно вывести деньги из кассы или банка на оплату вашего труда.

Если вы подпишете стандартный договор, где прописаны ваши обязанности, график и оплата, рисков для вас практически нет. Вы просто фиксируете факт работы. После подписания вы пишете заявление об увольнении (по собственному желанию или по соглашению сторон) и получаете расчет.
Подвохи: Внимательно читайте, что именно вам дают на подпись. Нет ли там пунктов о материальной ответственности (особенно полной)? Нет ли там штрафов или удержаний, которые не предусмотрены законом? Соответствует ли указанная сумма оплаты той, о которой вы договаривались устно? Если это стандартный договор и заявление на увольнение — подписывать безопасно. Это единственный быстрый способ получить деньги легально.