И, если да, то оставшийся больничный будет 'числиться' у старого работодателя?

Здравствуйте. Да, вы можете уволиться и перейти на новую работу во время больничного, и все оставшиеся дни до закрытия листка нетрудоспособности вам обязан оплатить старый работодатель. Для этого достаточно подать заявление об увольнении по собственному желанию, и работодатель не вправе его отклонить или задерживать, даже если вы находитесь на больничном. После увольнения вы предъявляете закрытый больничный лист бывшему работодателю, и он производит оплату всех дней до даты закрытия. При этом пособие будет рассчитано исходя из вашего среднего заработка у прежнего страхователя, а новый работодатель с первого дня работы должен начислять взносы и в случае вашего последующего больничного учтет этот стаж. При необходимости готов предоставить вам весь алгоритм действий или провести дополнительную консультацию только на платной основе. Если мой ответ был вам полезен — можете отблагодарить юриста — pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/4417895/.

Здравствуйте, Наталья!

Нет, так делать нельзя. Выходить на новую работу, пока у вас открыт больничный лист, запрещено. Вы рискуете остаться и без зарплаты, и без пособия.

В формате публичного ответа я не смогу оперативно накидать вам алгоритм действий, так как нужно задать вам 3–4 уточняющих вопроса по доказательствам, которые нельзя разглашать публично.  

Если работодатель настаивает на немедленном выходе и не хочет ждать, я могу помочь вам составить грамотное обоснование для него, разъясняющее его риски, включая возможную ответственность, и найти другие законные варианты оформления сотрудничества на эти дни.

Нажмите кнопку «Общаться в чате» прямо сейчас. В чате я смогу быстро оценить ваши шансы и подсказать первый неотложный шаг, который нужно сделать уже сегодня.

В личном чате я работаю платно. 

С уважением,  Николай Бакшанов.