Имеет ли право школа ДОСААФ, где много лет арендуем помещение под офис и склад, сдавать в аренду за плату место на необорудованной территории?

Здравствуйте.

Ответ зависит не от того, «оборудована» территория или нет, а от того, какие права на землю и объекты у самой школы ДОСААФ и есть ли согласие собственника на сдачу в аренду. Если земля/площадка закреплена за школой на праве оперативного управления, сдавать её в аренду за плату можно только с согласия собственника (учредителя), и с соблюдением общих требований к распоряжению имуществом учреждения.

Общий принцип по закону
Сдавать имущество (в том числе землю, площадки, дворовую территорию) в аренду имеет право собственник, либо учреждение, которому имущество передано, но только в пределах полномочий и обычно с согласия собственника.
Для учреждений (включая автошколы, учебные организации) имущество чаще всего закреплено на праве оперативного управления, и тогда распоряжение им (в т.ч. сдача в аренду) допускается с согласия учредителя/собственника, как это прямо указано в ст. 296, 298 ГК РФ (об этом пишут и в разъяснениях по аренде имущества образовательных организаций).
В положении ДОСААФ об аренде прямо предусмотрено, что арендаторами могут быть юр- и физлица, а порядок аренды определяется внутренними актами и договором, при этом ДОСААФ действует в рамках полномочий по распоряжению своим недвижимым имуществом и земельными участками.
Следовательно, если у школы ДОСААФ есть право распоряжаться закреплённой территорией (есть согласие собственника/учредителя и внутренние регламенты), она вправе сдавать в аренду и «место на территории» (например, под стоянку, размещение конструкции, хранение и т.п.), даже если это не отдельное помещение. Важен правовой статус земли и внутреннее положение об аренде, а не наличие асфальта, навеса и т.п.

На что обратить внимание в вашей ситуации
Что именно сдаётся?

Если это часть земельного участка (двор, площадка, «пятно» под контейнер, парковка, склад на открытом воздухе), это всё равно объект пользования, который можно передать в аренду (или договором возмездного пользования), при условии правомерного распоряжения.
То, что территория «необорудована» (нет строения, пола, крыши), не запрещает сам факт аренды, но должно быть чётко описано в договоре (схема, площадь, границы).
Есть ли у школы право это сдавать?
Вам стоит запросить (или посмотреть в договоре/переписке):

на каком праве у ДОСААФ эта территория (собственность, аренда у муниципалитета, оперативное управление и т.п.);
есть ли у них утверждённое положение об аренде имущества (часто размещают на сайте регионального отделения ДОСААФ);
не противоречит ли сдача конкретного участка условиям их договора с собственником земли (например, муниципалитет может ограничить коммерческую аренду).
Нарушение ваших прав как действующего арендатора
Если вы много лет арендуете помещения под офис и склад, имеет значение:

прописано ли в вашем договоре право пользования прилегающей территорией, парковкой, двором и т.п.;
есть ли формулировки о предоставлении «части земельного участка» или «общего пользования»;
не нарушает ли новая аренда третьему лицу ваши условия (например, перекрыт подъезд, доступ к складу).
Если ваши права реально ограничены, у вас могут возникнуть основания требовать изменения условий, уменьшения арендной платы или расторжения договора / признания таких действий нарушающими ваши права по ст. 612, 614 ГК РФ (арендодатель обязан обеспечить возможность пользования объектом по договору).
Риски для самой школы ДОСААФ

Прокуратура и учредители периодически проверяют законность сдачи имущества ДОСААФ и выявляют случаи незаконной аренды либо нецелевого использования объектов.
Если школа сдаёт участок без надлежащих прав или согласия собственника, это риск для них, но формально не делает договор автоматически «ничтожным» для вас – нужна оценка конкретных документов.
Что вы можете сделать практически
Письменно запросить у школы/арендодателя:

правовое основание сдачи именно этой части территории (ссылка на документы, внутреннее положение, право на землю);
схему участка, который передаётся третьему лицу, и обоснование, почему это не затрагивает ваши права по действующему договору.
Проанализировать свой договор аренды: есть ли упоминание о пользовании территорией, стоянкой, подъездными путями и т.д.
Если ваши права нарушаются (затруднён доступ, уменьшена возможность использования склада и офиса), направить претензию с требованием устранить нарушения или пересмотреть условия договора.