Скажите пожалуйста, как проверить правомочность действий полиции и какие нюансы в моем случает имеются для вступления в наследство?

Племянники могут наследовать по праву представления, т.е. в тех случаях, когда их родители (сестры и братья наследодателя) умерли до того, как умер наследодатель (п. 1 ст. 1146 ГК РФ)

1. Доля наследника по закону, умершего до открытия наследства или одновременно с наследодателем (пункт 2 статьи 1114), переходит по праву представления к его соответствующим потомкам в случаях, предусмотренных пунктом 2 статьи 1142, пунктом 2 статьи 1143 и пунктом 2 статьи 1144 настоящего Кодекса, и делится между ними поровну.

или по завещанию.

Наследник должен в срок не позднее 6 месяцев с даты открытия наследства принять наследство, подав заявление нотариусу по месту последнего жительства наследодателя (прописке).

С этого Вам и надо начать.

При этом, помимо Вашего паспорта, Вам также стоит иметь при себе доказательства родства с наследодателем (Ваше свидетельство о рождении, свидетельство о рождении Ваших родителей и дядино свидетельство о рождении).

Эти документы Вы можете запросить в ЗАГСе, получив от нотариуса справку об открытии наследственного дела.

Скажите пожалуйста, как проверить правомочность действий полиции

Чтобы оценить правомерность действий полиции, Вы можете обратиться письменно к начальнику УМВД по месту смерти наследодателя с просьбой разъяснить на каких основаниях производилось вскрытие квартиры Вашего дяди.

В принципе, у полиции есть такое право, если у них есть сведения о том, что в жилом помещении совершено или совершается преступление (о чем может свидетельствовать в частности обнаружение трупа)(ст. 15 ФЗ О полиции)

3. Проникновение сотрудников полиции в жилые помещения, в иные помещения и на земельные участки, принадлежащие гражданам, в помещения, на земельные участки и территории, занимаемые организациями (за исключением помещений, земельных участков и территорий дипломатических представительств и консульских учреждений иностранных государств, представительств международных организаций), допускается в случаях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, а также: 
4) для установления обстоятельств несчастного случая;

В соответствии со ст.1143 ГК РФ вы наследник второй очереди наследуете если нет в живых братьев сестер умершего (по праву представления).

Заявление нотариусу Вам нужно подать в течение 6 мес. со дня смерти дяди. представить подтверждающие документы на родство с дядей. 

Также просить нотариуса принять меры по охране наследственного имущества,

Полиция имела право проникать в жилое помещение умершего родственника. Наверно умер дома, был один дома, без присутствия других лиц, проникновение было с целью выявления обстоятельств смерти.

Если была сожительница, то наверно может умер при ней, но не оставлена в квартире умершего т.к. не является его законной женой, квартира опечатана.