Да, Вы вправе уволиться до начала проведения ЕГЭ, подав заявление по собственному желанию с соблюдением срока предупреждения — обычно за 14 дней. Если на дату увольнения у Вас останется неиспользованный отпуск, работодатель обязан выплатить компенсацию за него при расчёте. Сам факт частых больничных не лишает Вас права на увольнение и выплаты.
Также можно отдельно указать работодателю на состояние здоровья и невозможность участия в ЕГЭ, приложив медицинские документы, если они имеются. Могу помочь подготовить грамотное заявление на увольнение и, при необходимости, отдельное обращение об освобождении от участия в ЕГЭ с учётом Вашей ситуации.