Есть ли ограничения по видам деятельности?

Ваша ситуация, к сожалению, является стандартной для российской правовой системы, и новости неутешительные. Давайте разберем оба ваших вопроса.

1. Как убрать запись из базы данных МВД?
Короткий ответ: в большинстве случаев убрать запись о прекращении уголовного дела по ст. 25 УПК РФ (в связи с примирением сторон) из базы данных МВД невозможно.

Подробное объяснение:

Статус записи: прекращение дела по ст. 25 УПК РФ относится к нереабилитирующим основаниям. Это означает, что государство не признает вас невиновным, а просто прекращает преследование по конкретной причине (в данном случае — из-за примирения с потерпевшим).
Правила хранения данных: согласно совместному приказу правоохранительных органов и Положению о едином учете преступлений, сведения о лицах, в отношении которых уголовное дело прекращено по нереабилитирующим основаниям, вносятся в базы данных (ИЦ МВД).
Срок хранения: такие сведения хранятся в оперативно-справочных картотеках информационных центров МВД до достижения лицом 80-летнего возраста. Факты прекращения дела, снятия или погашения судимости не являются основанием для их удаления.
Судебная практика: суды, как правило, отказывают в исках об исключении таких сведений из баз данных МВД. Логика судов такова: наличие этой информации не нарушает права истца (так как дело было прекращено по его волеизъявлению), а необходимо для правоохранительных органов в их работе.
Таким образом, запись о факте уголовного преследования будет находиться в базе данных МВД до вашего 80-летия. Тот факт, что в справке об отсутствии судимости указано «судимости не имеется», является корректным. Справка показывает отсутствие судимости, но не отсутствие факта уголовного преследования.

2. Есть ли ограничения по видам деятельности (ОКВЭД)?
Да, ограничения есть. Прекращение дела по нереабилитирующим основаниям (включая примирение сторон) влечет за собой те же правовые последствия, что и осуждение.

Согласно законодательству РФ, к видам деятельности, связанным с повышенными требованиями к деловой репутации и отсутствию судимости (или факта уголовного преследования), относятся:

Образование, воспитание, отдых и оздоровление детей: работа в школах, детских садах, лагерях, секциях.
Медицина и фармацевтика: работа с лекарственными средствами.
Транспортная безопасность: работа, связанная с обеспечением безопасности на транспорте.
Финансовая сфера и аудит: работа в банках, страховых компаниях, на руководящих должностях в финансовых организациях.
Работа в правоохранительных органах и государственной службе.
Частная детективная и охранная деятельность.
Поскольку ваше дело было прекращено по статье о нанесении побоев или совершении иных насильственных действий (ст. 116 УК РФ), это является прямым препятствием для регистрации ИП и ведения деятельности, связанной с работой с несовершеннолетними (например, ОКВЭД 85.41 — Образование дополнительное детей и взрослых, 88.91 — Уход за детьми и т.д.), а также для других чувствительных сфер.

Что можно сделать? Единственный законный способ попытаться решить эту проблему — это реабилитация. Если вы считаете себя полностью невиновным, можно было бы обжаловать постановление о прекращении дела и добиваться его отмены по реабилитирующим основаниям (например, за отсутствием события или состава преступления). Однако, учитывая прошедшее время (15 лет) и то, что дело было прекращено по примирению сторон, шансы на успех такого предприятия крайне малы.