Должен ли я оплачивать бензин и проживание при ремонте машины?

Николай, платить автоматически Вы не обязаны - такие расходы относятся к дополнительным убыткам по ст. 15 ГК РФ и взыскиваются только если доказана их реальная необходимость, а не просто желание человека съездить куда-то по своему выбору.

Если Вы виновник ДТП или иным образом причинили вред его машине, обязанность возместить вред возникает по ст. 1064 ГК РФ, и в состав возмещения теоретически можно включить дополнительные расходы, связанные с ремонтом - но только те, без которых обойтись было нельзя. Судебная практика по такого рода спорам сводится к простому принципу: расходы должны быть разумными, необходимыми и документально подтверждены. Если рядом были автосервисы, а человек поехал в другой город "потому что там дешевле" или "потому что там знакомый мастер" - это его личный выбор, и перекладывать его на Вас он не имеет права. Точно так же с проживанием - если поездка занимала один день и ночевать было не обязательно, эти расходы могут быть признаны излишними.

Ключевой момент - бремя доказывания необходимости этих расходов лежит на том, кто их требует, а не на Вас. Просто чек на бензин и счёт за гостиницу - это ещё не доказательство того, что без этого было не обойтись.