Здравствуйте.
Работодатель прав лишь отчасти - штатное расписание он формирует и утверждает самостоятельно, это его исключительное право по ст. 22 ТК РФ, и обязать его через суд ввести или переименовать должность вы не сможете. Но это не снимает с него обязанности платить, если условие о доплате за квалификационную категорию уже прописано в локальных актах или трудовом договоре самой организации.
Важный нюанс: губернаторские доплаты за категорию (10 000 / 15 000 руб.), региональное отраслевое соглашение и Постановление Правительства Мурманской области № 243-ПП адресованы государственным и муниципальным образовательным организациям, которые финансируются из областного бюджета. На частные учреждения эти акты автоматически не распространяются - только если организация добровольно присоединилась к отраслевому соглашению или включила аналогичные нормы в свой коллективный договор/положение об оплате труда. Категория при этом сама по себе сохраняет силу независимо от места работы и места прохождения аттестации (ст. 49 ФЗ № 273-ФЗ) - но право на категорию и обязанность работодателя доплачивать за неё в частной организации - это два разных вопроса.
Отдельно смущает формулировка «такой должности нет в штатке» - если по факту вы работаете преподавателем, а в трудовом договоре должность называется иначе, это уже нарушение оформления по ст. 57 ТК РФ, и здесь у вас появляется отдельный рычаг давления на работодателя.