Платить 5 тысяч без доказательств Вы не обязаны - обязанность возместить вред возникает только при доказанной вине, а требование денег под угрозой заявления в ПДН и "испорченной репутацией" само по себе может подпадать под признаки вымогательства по ст. 163 УК РФ, если сосед прямо связывает получение денег с угрозой распространения сведений, которые могут причинить вред Вашей семье.
Ключевое здесь - бремя доказывания. Не сосед должен доказывать, что дети виноваты не были, а он сам обязан доказать вину именно Ваших детей: видео, свидетели, экспертиза повреждений, время и место. Слов "я видел" мало. Если он идёт в ПДН без доказательств - это его право, но решение там будет принимать инспектор по итогам проверки, а не по факту жалобы соседа.
Отдельно обращу внимание: если он требует деньги устно, без экспертизы ущерба и без документального подтверждения причастности детей - это уже похоже на самоуправство или попытку вымогательства, а не на законное требование возмещения вреда.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.