Что делать, если аутсорсинговая компания не выплачивает расчет при увольнении?

Закон не делает различий между прямым наймом и аутсорсингом — обязанность выплатить причитающиеся суммы лежит на работодателе (в вашем случае — на аутсорсере). 
Шаг 1. Официальная претензия
Прежде чем идти в суд или надзорные органы, направьте аутсорсеру письменную претензию. В ней чётко укажите:
ваши ФИО, адрес, контакты;
наименование и реквизиты аутсорсинговой компании;
дату увольнения;
какие суммы вам не выплатили (окончательный расчёт, компенсация за неиспользованный отпуск и т.п.);
срок, в который расчёт должен был быть произведён по закону;
ваше чёткое требование погасить задолженность;
дату и подпись.
Как подать: лично в отдел кадров или приёмную аутсорсера — обязательно возьмите отметку о получении на своём экземпляре. Если так не получается — отправьте заказным письмом с уведомлением о вручении и описью вложения. Эти доказательства очень пригодятся в дальнейшем. 
Шаг 2. Если не помогло — в надзорные органы
Если претензия проигнорирована, подключайте контролирующие инстанции.
Государственная инспекция труда (ГИТ). Это основной орган для таких ситуаций. Подать заявление можно лично, по почте или через портал «Онлайнинспекция.РФ». ГИТ проведёт проверку и, если нарушение подтвердится, выдаст работодателю предписание устранить его. Решение ГИТ имеет силу исполнительного документа. 
Прокуратура. Обращение в прокуратуру имеет смысл, если нарушение систематическое, носит грубый характер или есть признаки более серьёзного правонарушения. Прокурор также может вынести представление об устранении нарушения или направить материалы в следственные органы. 
Шаг 3. Суд
Если досудебные меры не сработали, обращайтесь в суд. В иске потребуйте:
взыскать сумму задолженности; 
начислить компенсацию за каждый день просрочки (по ст. 236 ТК РФ — не менее 1/150 ключевой ставки ЦБ РФ от невыплаченной суммы за каждый день); 
взыскать компенсацию морального вреда (по решению суда).
Важное про сроки: для споров о невыплате или неполной выплате зарплаты и других причитающихся сумм срок для обращения в суд — один год со дня установленного срока выплаты. Пропущенный по уважительной причине срок суд может восстановить. 
Несколько советов
Соберите доказательства. Это критически важно. Помимо трудового договора и приказа об увольнении, пригодятся любые документы: расчётные листки, переписка с представителями аутсорсера, выписки по счёту, пропуска на объект, свидетельские показания коллег. Даже если часть выплат шла «в конверте», факт трудовых отношений нужно доказать.
Рассмотрите юриста. В трудовом споре лучше заручиться поддержкой специалиста — он поможет грамотно составить документы, оценить шансы и представить ваши интересы в суде.
Не игнорируйте ситуацию. Чем раньше вы зафиксируете нарушение (например, направите претензию), тем проще будет доказать свою правоту.
Главное — не молчите. Ваши права защищены законом, и есть реальные механизмы, чтобы их отстоять.

Обращайтесь, помогу с составлением иска и документов.

Удачи в решении вопроса!