Что делать, если администрация отказывает в оплате за совмещение должностей?

Администрация не права, а ваши действия верны. Давайте разберу, в чём тут дело.
По закону поручить вам выполнять обязанности коллеги, ушедшего в отпуск, можно только с вашего письменного согласия. Для этого оформляют дополнительное соглашение к трудовому договору: там прописывают, какие именно задачи вы берёте на себя, на какой срок и какая будет доплата. Без такого соглашения и договорённости об оплате требовать от вас дополнительной работы незаконно. Аргумент администрации про «мало пациентов» не работает: отсутствие нагрузки не освобождает от права на оплату за фактически выполненную работу. 
То, что ваше заявление «убрали» или «выбросили», — это нарушение. Вы подавали официальную просьбу, значит, вопрос нужно решать через диалог или официальные каналы.
Что делать?
Я рекомендую такой план:
Зафиксируйте факт. Сохраняйте всю переписку (даже скриншоты сообщений), где обсуждается ситуация. Это пригодится, если дело дойдёт до жалобы.
Напишите официальное заявление. Направьте его руководителю или в отдел кадров. В тексте чётко изложите: какие именно обязанности из процедурного кабинета вы берёте, на какой срок и на каких условиях (какая доплата предусмотрена). Попросите поставить отметку о приёме на вашем экземпляре. Это создаст официальный след.
Если реакции нет — обращайтесь в государственную инспекцию труда (ГИТ) или прокуратуру с жалобой на нарушение трудовых прав.
При необходимости проконсультируйтесь с юристом, чтобы он помог составить грамотные документы и проконтролировал процесс.
Важное уточнение
Есть нюанс: если в вашем трудовом договоре, должностной инструкции или локальных актах организации уже прописано, что вы обязаны замещать коллег из того же подразделения в определённых ситуациях — тогда отдельное согласие и доплата могут не потребоваться. Но это нужно проверить по документам. Если такого пункта нет — согласие обязательно.
Главное сейчас — не молчать, а действовать официально. Удачи в решении вопроса!

Здравствуйте, Надежда. Администрация поликлиники поступает абсолютно незаконно, поскольку любое расширение зон обслуживания или увеличение объема работ обязано оплачиваться в полном объеме. Согласно ст. 60.2 и ст. 151 ТК РФ, совмещение должностей на время отпуска основного сотрудника допускается исключительно с письменного согласия работника и за дополнительную оплату, размер которой устанавливается по соглашению сторон, «а оплаты не будет» это прямое нарушение трудового законодательства. Тот факт, что в конце месяца людей было мало, не дает руководству права принуждать Вас к бесплатному труду в процедурном кабинете. Поскольку Ваше заявление выбросили, Вы имеете полное право на основании ч. 4 ст. 60.2 ТК РФ официально направить письменный отказ от выполнения дополнительной работы предупредив работодателя за 3 рабочих дня. Принудить Вас работать за двоих без Вашего согласия и без оформления дополнительного соглашения к трудовому договору администрация не имеет права, а при давлении со стороны руководства Вы можете подать жалобу в Государственную инспекцию труда или прокуратуру. Если моя консультация оказалась полезной, буду благодарен за отзыв. Для детального разбора Вашей ситуации, оценки рисков или подготовки необходимых документов (претензий, заявлений, исков) Вы можете обратиться ко мне в чат на платной основе.