Здравствуйте!
Если наследодатель (мать) не оставит завещание, то принадлежащая ей доля в квартире будет наследоваться по закону, в порядке предусмотренном ГК РФ. Первой очередью наследников являются дети, супруг и родители наследодателя (поровну).
Тут два варианта:
А) Если все оставить как есть, то сожитель не получит наследство.
Б) он может обратиться в суд с иском о признании факта наличия семейных отношений.
В случае установления судом такого факта, сожитель:
1) получит право на половину совместно нажитого имущества,
2) будет наследником первой очереди.
Таким образом наследоваться будет имущество, принадлежащее наследодателю после разделения с «супругом».
Если суд установит, что квартира не входит в состав совместно нажитого имущества, то сожитель(супруг) будет наследовать в общем порядке, как наследник первой очереди.