Каков алгоритм действий при приёме на работу гражданина Армении

В трудовых правоотношениях граждане Армении приравнены к россиянам, поэтому никаких разрешений, патентов и квот для принятия таковых на работу не требуется

Статья 97 Договора о ЕврАзЭС
Трудовая деятельность трудящихся государств-членов
1. Работодатели и (или) заказчики работ (услуг) государства-члена вправе привлекать к осуществлению трудовой деятельности трудящихся государств-членов без учета ограничений по защите национального рынка труда. При этом трудящимся государств-членов не требуется получение разрешения на осуществление трудовой деятельности в государстве трудоустройства.

Единственной обязанностью работодателя является уведомление ФМС о приеме такого работника (уведомление должно быть направлено в течении трех дней со дня приема его на работу)

ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в РФ»
Статья 13. Трудовая деятельность иностранных граждан в Российской Федерации
(в ред. Федерального закона от 24.11.2014 N 357-ФЗ)
8. Работодатель или заказчик работ (услуг), привлекающие и использующие для осуществления трудовой деятельности иностранного гражданина, обязаны уведомлять территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции в субъекте Российской Федерации, на территории которого данный иностранный гражданин осуществляет трудовую деятельность, о заключении и прекращении (расторжении) с данным иностранным гражданином трудового договора или гражданско-правового договора на выполнение работ (оказание услуг) в срок, не превышающий трех рабочих дней с даты заключения или прекращения (расторжения) соответствующего договора.
Указанное в абзаце первом настоящего пункта уведомление может быть направлено работодателем или заказчиком работ (услуг) в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции на бумажном носителе либо подано в форме электронного документа с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе сети Интернет, включая единый портал государственных и муниципальных услуг.
Форма и порядок подачи указанного уведомления (в том числе в электронном виде) устанавливаются федеральным органом исполнительной власти в сфере миграции.
После получения уведомления, указанного в абзаце первом настоящего пункта, территориальным органом федерального органа исполнительной власти в сфере миграции осуществляется проверка регистрации работодателя или заказчика работ (услуг), являющихся юридическими лицами или индивидуальными предпринимателями, в едином государственном реестре юридических лиц или едином государственном реестре индивидуальных предпринимателей.
Территориальные органы федерального органа исполнительной власти в сфере миграции обмениваются с органами исполнительной власти, ведающими вопросами занятости населения в соответствующем субъекте Российской Федерации, и налоговыми органами сведениями о привлечении работодателями и заказчиками работ (услуг) иностранных граждан для осуществления трудовой деятельности. Обмен сведениями осуществляется с использованием единой системы межведомственного электронного взаимодействия и подключаемых к ней региональных систем межведомственного электронного взаимодействия или иным способом в электронном виде при условии соблюдения требований, установленных законодательством Российской Федерации в области персональных данных.
(п. 8 введен Федеральным законом от 24.11.2014 N 357-ФЗ)

Форма уведомления в приложении к ответу

Согласно ст. 97 Договора о Евразийском экономическом союзе 1. Работодатели и (или) заказчики работ (услуг) государства-члена вправе привлекать к осуществлению трудовой деятельности трудящихся государств-членов без учета ограничений по защите национального рынка труда. При этом трудящимся государств-членов не требуется получение разрешения на осуществление трудовой деятельности в государстве трудоустройства.
3. В целях осуществления трудящимися государств-членов трудовой деятельности в государстве трудоустройства признаются документы об образовании, выданные образовательными организациями (учреждениями образования, организациями в сфере образования) государств-членов, без проведения установленных законодательством государства трудоустройства процедур признания документов об образовании.

То есть, никаких специальных условия для привлечения к труду гражданина Армении не существует. Поэтому оформление производится на общих основаниях согласно ст.65 ТК РФ.

Согласно ст.65 ТК РФ Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:
паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;
документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию.
Запрещается требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации.

Однако, в силу ст.13 ФЗ о правовом положении иностранных граждан РФ, вы обязаны уведомить УФМС о привлечении к работе иностранного работника.

Желаю удачи!