Леанора, приветствую Вас!
Факт отсутствия надлежащим образом оформленного Трудового договора — это, конечно, не очень хорошо, но не смертельно. То, что вы работали можно подтверить и иными способами: запись в трудовой книжке, перечисления вам заработной платы, показания свидетелей и так далее.
Полагаю, вам следует обратиться в трудовую инспекцию (потребовать выплатить остаток заработной платы, компенсации за неиспользованный отпуск, а также вернуть медицинскую книжку).
Также не стоит забывать и о судебном способе защиты прав. В суд можно обратиться в течение 3х месяцев с даты увольнения — по месту вашей регистрации без оплаты госпошлины