Правомерно ли требование о написании заявления при вступлении в должность?

Здравствуйте, Екатерина! Заявление ваше, а должность предоставляется работодателем, поэтому Вам нужно договориться с работодателем о дате, с которой Вы приступаете к работе и заключаете ( или вносите изменения) в трудовой договор. Это общее правило при заключении или изменении трудовых договоров. Возможно, новая должность в штатном расписании появится у работодателя только в сентябре, поэтому он Вам и предложил написать заявление с сентября..