Нужно ли отрабатывать 14 дней после подачи заявления на увольнение?

Да, требование законно. Ст. 80 СК РФ.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.