Обязан ли наследник выплачивать долг по кредитной карте?

Дмитрий, добрый день.

По общему правилу, наследники отвечают по долгам наследодателя в пределах стоимости имущества перешедшего по наследству.

Только из Вашего вопроса не понятен вот какой момент:

Как оказывается, все это время, со смерти отца, карта была активна и по ней производились банковские операции.
Дмитрий

О какого рода операциях идет речь и кто пользовался картой?

Смерть должника не влечет прекращения обязательств по заключенному им договору, наследник, принявший наследство, становится должником и несет обязанности по их исполнению со дня открытия наследства. Проценты, подлежащие уплате в соответствии со статьей 395 ГК РФ, взимаются за неисполнение денежного обязательства наследодателем по день открытия наследства, а после открытия наследства за неисполнение денежного обязательства наследником, по смыслу пункта 1 статьи 401 ГК РФ, — по истечении времени, необходимого для принятия наследства (приобретения выморочного имущества). Размер задолженности, подлежащей взысканию с наследника, определяется на время вынесения решения суда. Вместе с тем, установив факт злоупотребления правом, например в случае намеренного без уважительных причин длительного непредъявления кредитором, осведомленным о смерти наследодателя, требований об исполнении обязательств, вытекающих из заключенного им кредитного договора, к наследникам, которым не было известно о его заключении, суд, согласно пункту 2 статьи 10 ГК РФ, отказывает кредитору во взыскании указанных выше процентов за весь период со дня открытия наследства, поскольку наследники не должны отвечать за неблагоприятные последствия, наступившие вследствие недобросовестных действий со стороны кредитора.

для начала вам необходимо обратиться в полицию и в банк с требованием разобраться кто пользовался картой. В банкоматах стоят камеры, по ним можно определить кто снимал и клал наличные на карту. Если будет установлено что вы не пользовались картой то у вас есть шансы избежать взыскания .