Как добиться полной выплаты за разработку дизайна сайта или запретить использовать мой дизайн?

Добрый день!

Да, такой вариант возможен, если у вас есть доказательства, что вы создали сайт — подготовительные материалы, проекты, исходники и проч.

Закон об авторском праве не действует с 2008 года. Сейчас это 4-ая часть ГК РФ:

Статья 1301. Ответственность за нарушение исключительного права на произведение
(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)
В случаях нарушения исключительного права на произведение автор или иной правообладатель наряду с использованием других применимых способов защиты и мер ответственности, установленных настоящим Кодексом (статьи 1250, 1252 и 1253), вправе в соответствии с пунктом 3 статьи 1252 настоящего Кодекса требовать по своему выбору от нарушителя вместо возмещения убытков выплаты компенсации:
1) в размере от десяти тысяч рублей до пяти миллионов рублей, определяемом по усмотрению суда исходя из характера нарушения;
2) в двукратном размере стоимости контрафактных экземпляров произведения;
3) в двукратном размере стоимости права использования произведения, определяемой исходя из цены, которая при сравнимых обстоятельствах обычно взимается за правомерное использование произведения тем способом, который использовал нарушитель.