Добрый день! Если отец планирует выйти на неполный рабочий день (обращаю внимание, что «неполным» может быть и рабочий день меньше нормального на 15 минут), то в силу ч. 3 ст. 256 ТК РФ
По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
В силу ч. 4 ст. 256 ТК РФ
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).
Таким образом, при работе в режиме неполного рабочего времени работник считается находящимся в отпуске, поэтому за ним должно сохраниться место работы. Более того, в силу ч. 6 ст. 81 ТК РФ
Не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске.
Если же отец ребенка выходит из отпуска, то его могут уволить