Должен ли я предоставить справку о судимости, если работаю сторожем в доме культуры?

Добрый день. Нет, Вы не должны этого делать. Закон на Вас такой обязанности не возлагает.

Работодатель может запросить Ее самостоятельно..

Об уходе нет смысла писать, так как это перевод на другую работу у того же работодателя. При увольнении Вы потеряете право на отпуск, придется полгода работать. Поэтому пусть не выдумывают и оформляют перевод.

Справку, скорее всего, предоставить придется, если она есть в списке необходимых документов. Хотя справедливости ради замечу, что распоряжением Правительства России от 1 ноября 2016 года № 2326-р «О реализации требования о запрете запрашивать у заявителя уже имеющиеся у госорганов документы при оказании госуслуг» такую справку даже для предоставления госуслуг требовать запрещено.

Если с вами будет заключен новый трудовой договор, и вы будете подчинены сфере образования, то такие требования по предоставлению справки о судимости или отсутствия могут быть обоснованы. Норма содержится в ТК РФ

Статья 65.ТК РФ Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:

паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;
документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию;
справку о том, является или не является лицо подвергнутым административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, которая выдана в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с федеральными законами не допускаются лица, подвергнутые административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, до окончания срока, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию.
В отдельных случаях с учетом специфики работы настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации может предусматриваться необходимость предъявления при заключении трудового договора дополнительных документов.
Запрещается требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации.