Может ли двоюродный брат выписать меня из муниципальной квартиры через суд?

Здравствуйте, Игорь! Вообще, согласие требуется.

ЖК РФ, Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя — других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

Однако, в Вашей ситуации истек срок исковой давности, что является самостоятельным основанием для отказа в удовлетворении исковых требований.

Также Вам можно подать иск к брату о прекращении права пользования жилым помещением на основании того, что он не проживает, за квартиру не платит, за имуществом не следит и.т.д.

Исковая давность в Вашем случае не применяется, согласие думаю нужно было.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 02.07.2009 N 14
«О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации»
28. Если на вселение лица в жилое помещение не было получено письменного согласия нанимателя и (или) членов семьи нанимателя, а также согласия наймодателя, когда оно необходимо (часть 1 статьи 70 ЖК РФ), то такое вселение следует рассматривать как незаконное и не порождающее у лица прав члена семьи нанимателя на жилое помещение. В таком случае наймодатель, наниматель и (или) член семьи нанимателя вправе предъявить к вселившемуся лицу требование об устранении нарушений их жилищных прав и восстановлении положения, существовавшего до их нарушения (пункт 2 части 3 статьи 11ЖК РФ), на которое исходя из аналогии закона (часть 1 статьи 7 ЖК РФ) применительно к правилам, предусмотренным статьей 208 ГК РФ, исковая давность не распространяется. При удовлетворении названного требования лицо, незаконно вселившееся в жилое помещение, подлежит выселению без предоставления другого жилого помещения.

Теоретически конечно может. Подайте встречный иск о его снятии с регистрационного учета в связи с тем, что он постоянно проживает в другом месте и не несет расходов по содержанию жилья.