Как продлить трудовой договор, если предыдущий давно закончил срок действия?

Здравствуйте, Ксения.

Для руководителя организации важен не только срок трудового договора, но и срок полномочий, который указывается в уставе или положении. Однако, руководитель такой же работник, как и другие, поэтому на него распространяются общие нормы трудового законодательства.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.
ст. 58, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 01.05.2017) {КонсультантПлюс}

При этом, если срок полномочий руководителя уже истек, а должность выборная, то его, по идее должны были уволить даже при наличии «бессрочного» трудового договора

Трудовой договор подлежит прекращению по следующим обстоятельствам, не зависящим от воли сторон:
3) неизбрание на должность;
ст. 83, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 01.05.2017) {КонсультантПлюс}

Подскажите, как управление может этот факт использовать в своих целях

Ксения

на мой взгляд — никак. Эта ситуация в пользу работника. Он не обязан следить за сроком своего договора, в этом интерес у работодателя (управления) — вот пусть и думают, что теперь делать, когда договор стал бессрочным по закону.