Как добиться выплат за отработанный период, если отказали в трудоустройстве?

Вы вправе пожаловаться в инспекцию по труду. Так как отказ неправомерен. Согласно заключенному между Россией и Казахстаном Соглашению, граждане Казахстана приравниваются в правах к жителям России, и могу работать в российских организациях, заключив специальный трудовой договор. Оформить трудовой договор Вы вправе, но для этого необходимо посетить ФМС с определенным перечнем документов. При этом работодатель вправе заключить с Вами трудовой договор без оформления вида на жительство или разрешения на временное пребывание на территории РФ. 

ИНН при трудоустройстве не является обязательным:

ТК РФ, Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:
паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;
документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию;
справку о том, является или не является лицо подвергнутым административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, которая выдана в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с федеральными законами не допускаются лица, подвергнутые административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, до окончания срока, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию.

Поэтому, если хотите получить зарплату, то оформите его. Он Вам все равно в дальнейшем пригодится при трудоустройстве на другую работу.