Правомерно ли при увольнении грозят штрафом?

Добрый день, Александра.
Неправомерно.
Во-первых, никакого штрафа за неотработку 2-недельного срока предупреждения работника о своем увольнения законодательством РФ не предусмотрено.
Во-вторых и основное, если с Вами не был заключен трудовой договор, то у Вас с данным работодателем не возникало трудовых никаких трудовых отношений.

Александра, из Вашего описания, сразу могу сказать, что в действиях Вашего «работодателя» сразу несколько неправомерных действий:

1. он допустил Вас к работе без оформления трудовых отношений;

2. трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

таким образом, в теории Вы должны предупредить работодателя об увольнении за 2 недели, а по факту если нет трудового договора, а трудовая книжка у Вас, принуждение в этом случае сомнительно;

3. Никаких штрафов в качестве дисциплинарных взысканий или таких вот компенсаций на неотработку работодатель применять не имеет никакого права.

Здравствуйте, Александра!

Трудовой договор считается действующим с момента допуска Вас к работе. 

Статья 67 Трудового кодекса РФ. Форма трудового договора

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе

Работодатель грубо нарушает закон, не оформляя Вас. Предупредите его, что обратитесь в трудовую инспекцию и прокуратуру.

Статья 5.27 КоАП РФ. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права

1. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права —

влечет предупреждение или наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от одной тысячи до пяти тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от одной тысячи до пяти тысяч рублей; на юридических лиц — от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей.

4. Уклонение от оформления или ненадлежащее оформление трудового договора либо заключение гражданско-правового договора, фактически регулирующего трудовые отношения между работником и работодателем, —

влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

Как видите, штрафы на организацию по этой статьей выше, чем его претензии к Вам. Обратите на это внимание работодателя. Может быть он забудет о своём желании требовать с Вас незаконные штрафы.