Согласно правил подачи заявлений о несогласии на выезд несовершеннолетнего (утв. постановлением Правительства РФ от 12 мая 2003 г. N 27):
Заявление подается лично одним из родителей, усыновителем, опекуном или попечителем несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации (далее именуется — заявитель) в территориальный орган Федеральной миграционной службы по месту жительства (пребывания), либо в орган пограничного контроля, либо в дипломатическое представительство (консульское учреждение) Российской Федерации в случае, если заявитель постоянно проживает за пределами Российской Федерации.
3. Заявление пишется разборчиво от руки или с использованием технических средств (пишущей машины, компьютера) на русском языке.
В заявлении указываются фамилия, имя, отчество, пол, дата и место рождения, место жительства и гражданство заявителя и несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации.
4. Одновременно с заявлением необходимо представить:
а) документ, удостоверяющий личность заявителя;
б) нотариально заверенные копии документов, подтверждающих родительские права в отношении несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации или факт установления усыновления (удочерения), опекунства либо попечительства в отношении указанного гражданина.
6.Порядок рассмотрения заявлений, принятия по ним решений, а также ведения централизованного учета заявлений определяется Федеральной миграционной службой по согласованию с Министерством внутренних дел Российской Федерации, Министерством иностранных дел Российской Федерации и Федеральной службой безопасности Российской Федерации.
Для восстановления свидетельства о рождении он может обратиться в органы ЗАГСа для выдачи дубликата. А уже на основании дубликата подать заявление о запрете выезда.
Снять такой запрет возможно только в судебном порядке, а это может занять определенное время.
Я бы рекомендовал, чтобы для Вас это не было неожиданностью, до поездки обратиться в органы ФМС с запросом о наличии/отсутствии такого заявления.
К сожалению мне не известны нормативные акты, которые регулируют вопрос о сроках рассмотрения таких заявлений в соответствующих органах МВД, Минюста и прочее, но судя по нашему законодательству могу сказать, что такой срок не будет более чем 20 календарных дней.
В части восстановления документов, свидетельствующих о родстве — так же срок менее чем 20-30 календарных дней не будет, если только знакомых нет.