Когда я смогу впервые оформить отпуск без содержания после трудоустройства?

Здравствуйте, Максим!

В соответствии с абзц. 1 ст. 128 Трудового кодекса РФ 

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Как Вы видите, в указанной статье нет оговорки относительно срока, когда у Вас впервые возникает право на отпуск без сохранения заработной платы. Поэтому  отпуск без сохранения заработной платы может быть предоставлен Вам в любое время на основании Вашего заявления, не зависимо от того сколько Вы проработали в организации. Но опять же предоставить Вам отпуск без сохранения заработной платы это право работодателя, а не обязанность. 

Обязанность предоставить отпуск без сохранения заработной платы работнику возникает у работодателя только в случаях, предусмотренных абзц. 2 ст. 128 Трудового кодекса РФ, а именно:

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.