Как правильно подойти с этим вопросом к работодателю?

Здравствуйте! Вам должны были при приеме на работу дать расписаться в приказе о приеме на работу, в  договоре, а также выдать второй экземпляр на руки. В трудовую книжку также должны сделать запись. Отрабатывать 2 недели Вы обязаны в соответствии с ТК РФ. 

Действительно, по общему правилу после подачи заявления об увольнении работник отрабатывает еще 2 недели, однако на практике данную формальность можно обойти.

Для некоторых категорий работников, равно как и при наличии особых обстоятельств, увольнение возможно без отработки или же с уменьшением 14-дневного срока отработки до 3 дней. 

Увольнение в 3-дневный срок возможно, если Вы относитесь к одной из следующих категорий работников:
1)В Вашем трудовом договоре есть условие об испытательном сроке. Согласно ст. 71 Трудового кодекса РФ в случае, если в период прохождения испытания работник решил расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, он обязан уведомить о своем решении работодателя в 3-дневный срок;
2)Ваш договор носит временный характер. Согласно ст. 292 Трудового кодекса РФ в случае, если сотрудник был принят на работу для выполнения определённого объёма/вида работ, и с ним заключён трудовой договор сроком до 2 месяцев, то о досрочном расторжении трудового договора он уведомляет работодателя за 3 календарных дня;
3)При заключении договора о выполнении сезонных работ (ст. 296 ТК РФ) сотрудник также может уволиться пи истечении 3 календарных дней с момента уведомления своего работодателя.

Увольнение без отработки возможно при наличии обстоятельств, свидетельствующих о невозможности продолжить работу:
1)при зачислении в образовательное учреждение (институт, колледж и пр.) на очное отделение;
2)при переводе с заочной/вечерней формы обучения на дневную;
3)при выходе на пенсию;
4)при переезде в другую местность как для работы, так и в случае смены места жительства;
5)при переезде супруга/супруги в другой регион/страну (в случае командировки или трудоустройства);
6)при осуществлении ухода за больным членом семьи, инвалидом 1-й группы, ребенком-инвалидом;
7)при наличии в многодетной семье детей до 16-ти лет, а также детей до 18-ти лет при условии их обучения в общеобразовательном учреждении;
8)при ухудшении состояния здоровья самого работника;
9)при беременности 10)при нарушение работником трудового законодательства, локальных актов организации, а также положений трудового/коллективного договоров;
11)иные случаи.
По вышеуказанным обстоятельствам необходимо представить соответствующие доказательства, подтверждающие их наличие.

При оформлении заявления об увольнении необходимо указывать конкретную дату увольнения, просьбу об увольнении без отработки со ссылкой на обстоятельство (при его наличии), в связи с которым у Вас есть необходимость в «мгновенном» увольнении.
Если ни одно из вышеперечисленных обстоятельств к Вам не относится, то не стоит пренебрегать вариантом еще раз подойти к работодателю и постараться сделать так, чтобы тот «вошел в Ваше положение». 

Что касается находящегося в другом городе директора. 

Обычно на период своего отсутствия директор издает приказ об исполнении обязанностей  директора. Если в Вашем случае был издан такой приказ, причем с указанием в нем на правомочие увольнять работников, то Ваше заявление и приказ об увольнении могут быть подписаны и.о. директора (принять решение об «отработке» или же об отсутствии необходимости в таковой может также и.о. директора, но по согласованию с директором).

Во избежание возможных конфликтов лучше дождаться директора.