Будет ли законной выдача директором учреждения доверенности начальнику юридического отдела?

Да, такая доверенность будет законной.

Сразу уточню, что доверенности выдаваемые начальником юридического отдела в порядке передоверия требует обязательного нотариального удостоверения (с. 3 ст. 187 ГК РФ).

Потому как должность начальника юридического отдела не подпадает под упомянутые законом исключения из правила: он физическое, а не юридическое лицо, он не является руководителем филиала или представительства юридического лица.