Можно ли вместо отработки перед увольнением написать заявление на увольнение в период отпуска?

Можно то оно конечно можно, Вы в этом случае ничего не нарушаете. Но вот только работодатель вправе Вам не предоставить отпуска «за свой счет». Тогда Вам придется выходить на рабочее место и до отрабатывать установленное время отработки, иначе Вам могут написать прогул. Все зависит от Ваших взаимоотношений с работодателем. Вы можете по соглашению уволиться и в день написания заявления.

Здравствуйте Андрей.

Вам необходимо было перед отпуском подать заявление о увольнении, в данном случае касательно вашего предложения взять неоплачиваемый отпуск с последующим увольнением -  предоставить вам такой отпуск является правом работодателя а не обязанностью, но в части 2 ст. 128 ТК РФ указаны категории работников, отказать в предоставлении неоплачиваемого отпуска которым работодатель не вправе

Участники Великой Отечественной войны
Работающие пенсионеры по старости (по возрасту)
Родители и жены (мужья) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы
Работающие инвалиды
Работники в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников

Не стоит пренебрегать возможностью поговорить с руководством о досрочном сложении с себя обязательств. У работодателя есть такое право — уволить, не требуя отработки. Согласно статье 77 ТК РФ позволяющей расторгать договор по соглашению обеих сторон в любое время.
В статье 80 ТК РФ описаны возможности уволиться быстро в связи с другими случаями.

Уволиться без отработки реально по различным причинам, связанным с обстоятельствами в семье или сфере личной жизни.

Законы допускают подобные возможности, но придется подтверждать их документально, в чем могут возникнуть сложности.

переезд супруга/супруги на продолжительное время в другой регион или страну. Распространенный случай — длительная командировка мужа или жены, влекущая за собой переезд всей семьи.
ухудшения состояния здоровья работника, что влекут за собой необходимость покинуть данный регион с подтверждением этого факта медицинским заключением.
Болезнь, препятствующая работнику в исполнении им служебных обязанностей,
Помочь уволиться поскорее поможет наличие детей. Речь идет о семьях, где есть дети и подростки до 14-ти лет.
Скорейшего расторжения трудового договора может требовать любой родитель многодетной семьи, имеющий на иждивении трех и более детей до 16-ти лет.
Веской причиной становится уход за ребенком-инвалидом или больным членом семьи, а также инвалидом 1-й группы, что, как можно догадаться, необходимо подтвердить медицинским заключением.

Удачи в работе.