Можно ли трудоустроиться на работу при наличии только приписного свидетельства?

Добрый день, Нарек! Да, обязаны! Согласно статье 65 Трудового кодекса РФ:

Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:

документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;

Иными словами, при устройстве на работу вы обязаны предъявить работодателю или приписное свидетельство, если Вы призывник или же военный билет, если Вы военнообязанный гражданин, пребывающий в запасе.

В в вашем случае вы должны предъявить приписное свидетельство (удостоверения гражданина подлежащего призыву на военную службу).