Что делать и как правильно оформить данный договор?

Добрый день.

Нет, не законно.

Но в отсутствие трудового договора, вам в суде придется доказывать факт трудовых отношений с работодателем.

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.