Вопрос состоит в том, что имеют ли они право требовать знания всех этих статей наизусть и заставлять нас сдавать экзамен после того, как наша вахта закончилась?

Здравствуйте. Если это не аттестация, то нет не имеют. В противном случае она должна быть оформлена и у работодателя есть право Вас уволить. Ст. 81 ТК РФ

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

Порядок проведения аттестации (пункт 3 части первой настоящей статьи) устанавливается трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, локальными нормативными актами, принимаемыми с учетом мнения представительного органа работников.

Если у Вас в локальных актах нигде ничего такого не закреплено, то такой опрос незаконен. Можете не отвечать. Самое главное — соблюдайте правила трудового распорядка.

Добрый день. В соответствии с ТК РФ

Работник обязан:

добросовестно исполнять свои трудовые обязанности, возложенные на него трудовым договором;
соблюдать правила внутреннеготрудового распорядка;

соблюдать трудовую дисциплину;
выполнять установленные нормы труда;
соблюдать требования по охране труда и обеспечению безопасности труда;
бережно относиться к имуществу работодателя (в том числе к имуществу третьих лиц, находящемуся у работодателя, если работодатель несет ответственность за сохранность этого имущества) и других работников;

незамедлительно сообщить работодателю либо непосредственному руководителю о возникновении ситуации, представляющей угрозу жизни и здоровью людей, сохранности имущества работодателя (в том числе имущества третьих лиц, находящегося у работодателя, если работодатель несет ответственность за сохранность этого имущества).

В ТД или в ПВТР что то об этом сказано?