Добрый день. Получается, что в период с 05.07.19г. по 16.07.19г. функции руководителя компании никто не исполнял. В таком случае документы на прием нового работника подписывать было некому.
В Вашем случае, при увольнении прошлого руководителя и до прихода нового, участник (учредитель) должен был назначить работника, временно исполняющего обязанности руководителя. Если он этого не сделал, то компания осталась без руководителя, за что участник (учредитель) может быть привлечен к ответственности.
Вы можете принять работника с 16.07.19г., когда был назначен новый руководитель, в этом случае нарушаются права работника, т.к. фактически он приступил к работе 10.07.19г.
Или оформите кого-то из работников и.о. директора задним числом, тогда он сможет подписать документы на прием работника 10.07.19г. но в этом случае — при смене руководителя вы должны были уведомить ФНС в течение 3 рабочих дней. За не уведомление может быть наложен штраф — 5 тыс.руб. (ч. 3 ст. 14.25 КоАП РФ).