Можно ли устроиться на другую работу по другой трудовой, не увольняясь с прежнего места работы?

Добрый вечер!

Да, Вы можете устроиться по совместительству.

ТК РФ Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

 
Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.
Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.

В трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством.