Какие документы для этого необходимы и куда обращаться?

Здравствуйте, Алина.

У Вас будет не переименование, а преобразование частного учреждения в ООО.

Ст. 17 Федерального закона от 12.01.1996 N 7-ФЗ  «О некоммерческих организациях»

Частное учреждение может быть преобразовано в фонд, автономную некоммерческую организацию, хозяйственное общество. 

Решение о преобразовании частного учреждения принимается его собственником.

Последовательность шагов:

1. Принятие собственником решения о преобразовании в ООО.

2. Направление в налоговую уведомление о начале процедуры реорганизации. 

3. Публикации в журнале «Вестник государственной регистрации».

4. Подготовка и подача документов образуемого ООО.

Подробно процедура преобразования юрлица и о том, какие конкретно документы требуются расписано здесь и здесь.

Вся процедура может занять не менее 3 месяцев, поэтому, возможно, Вам будет проще создать ООО с нуля.

С уважением, Роман.