Также такой вопрос, по каким критериям суд будет выбирать экспертную организацию?

Добрый день! В Вашем вопросе указана категория — Семейное право, однако, в самом тексте вопроса указано, что процесс — арбитражный. Поэтому уточните, какая категория дел, и в каком суде рассматривается дело.

Далее выяснилось, что стоимость экспертизы существенно выросла и я заявила ходатайство о замене экспертной организации, предложив суду другого эксперта. В свою очередь другая сторона по делу, была против назначения экспертизы (даже жалобу подавали), а теперь просит также заменить эксперта, но уже на своего.

Если суд вынес определение о назначении судебной экспертизы, и в этом определении указал конкретное экспертное учреждение, которому он поручает производство данной экспертизы, то несмотря на наличие и Вашего ходатайства, и ходатайства второй стороны об изменении экспертного учреждения, он не станет этого делать, поскольку сам не вправе отменять или изменять своё определение о назначении экспертизы, это может сделать только суд вышестоящей инстанции.

Так, согласно ст. 82 АПК РФ:

4. О назначении экспертизы или об отклонении ходатайства о назначении экспертизы арбитражный суд выносит определение.
В определении о назначении экспертизы указываются основания для назначения экспертизы; фамилия, имя и отчество эксперта или наименование экспертного учреждения, в котором должна быть проведена экспертиза; вопросы, поставленные перед экспертом; материалы и документы, предоставляемые в распоряжение эксперта; срок, в течение которого должна быть проведена экспертиза и должно быть представлено заключение в арбитражный суд.
В определении также указывается на предупреждение эксперта об уголовной ответственности за дачу заведомо ложного заключения.

Аналогичные положения закона содержатся и в ГПК РФ.