Могу ли я через месяц написать заявление в полицию и будет ли заключение врача доказательством вреда здоровью?

Здравствуйте. Ваше право написать заявление в полицию да. Также можете приложить заключение как доказательство вреда здоровью да.  Ст. 144 УПК РФ

1. Дознаватель, орган дознания, следователь, руководитель следственного органа обязаны принять, проверить сообщение о любом совершенном или готовящемся преступлении и в пределах компетенции, установленной настоящим Кодексом, принять по нему решение в срок не позднее 3 суток со дня поступления указанного сообщения.

Если будет отказ в возбуждении уголовного дела, можете обжаловать его через прокуратуру или суд.