Скажите могу ли я подать на них в суд если они в указанный срок не выполнят обещание?

Да, вы вправе будете подать в суд. на основании имеющейся у вас расписки.  В суд по месту жительства, точнее регистрации должника. 

Статья 309. Общие положения

Обязательства должны исполняться надлежащим образом в соответствии с условиями обязательства и требованиями закона, иных правовых актов, а при отсутствии таких условий и требований — в соответствии с обычаями или иными обычно предъявляемыми требованиями.
Условиями сделки может быть предусмотрено исполнение ее сторонами возникающих из нее обязательств при наступлении определенных обстоятельств без направленного на исполнение обязательства отдельно выраженного дополнительного волеизъявления его сторон путем применения информационных технологий, определенных условиями сделки.

 Статья 1064. Общие основания ответственности за причинение вреда

1. Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.
Законом обязанность возмещения вреда может быть возложена на лицо, не являющееся причинителем вреда.

Добрый день

Если в добровольном порядке виновник вред компенсировать отказывается то не тяните время и обращайтесь в суд в гражданском порядке для взыскания ущерба, ДТП оформлялось сотрудниками ДПС а это значит все документы у Вас на руках, однако для установления суммы ущерба Вам придется произвести оценку повреждений автомобиля, в случае если ремонт уже завершен то для подтверждения затрат приобщите чеки на покупку запасных частей и проведение ремонтных работ

Добрый день!

Вы можете обратиться в суд с исковым заявлением о взыскании ущерба от ДТП, но для этого Вам нужна копия постановления по делу об административном правонарушении, почтовая квитанция об уведомлении ответчика, чек об оплате госпошлины, заключение эксперта о рыночной стоимости ущерба, если она есть (ст. 1064 ГК РФ). Если оценку ущерба Вы не делали, тогда к иску прикладываете расписку. По данной категории дел досудебный порядок не обязателен, поэтому имеете право направить сразу иск в суд.

С уважением,

Юрист

Гулько Александр Владимирович